El teorema de Rouché-Fröbenius

Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

$\left \{ \begin{aligned}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+\cdots &+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+\cdots &+a_{2n}x_n&=b_2\\&\vdots&\ddots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+a_{m2}x_2&+\cdots &+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right .$

que en forma matricial se escribe de la forma

$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}}_{M}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}}_X=\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}}_N$

$M\cdot X=N$

Llamamos matriz de coeficientes a la matriz M. Llamamos matriz ampliada a la matriz M* que es la matriz formada por la matriz de coeficientes junto con la matriz de términos independientes

$M^*=(M|N)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{pmatrix}$

El rango de la matriz ampliada solo puede tener uno de los siguientes valores:

$rg(M^*)=\left\{\begin{array}{l}\mbox{rg}(M)\\\mbox{rg}(M)+1\end{array}\right.$

recordando que el rango de una matriz es como mucho la menor de sus dimensiones.

El teorema de Rouché-Fröbenius clasifica un sistema basándose en los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada. El teorema se resume de la siguiente forma:

Si el $rg(M)=rg(M^*)=n$ entonces el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución.
Si el $rg(M)=rg(M^*)<n$ entonces el sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones.
Si el $rg(M)<rg(M^*)$ entonces el sistema es incompatible. No tiene solución.

En el caso de sistemas compatibles indeterminados, la solución del sistema tendrá n-rg(M) parámetros.

Sistemas homogéneos

Si la matriz de términos independientes, N, es nula, esto es

$N=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$

al sistema se le llama sistema homogéneo, y tiene la particularidad de que rg(M)=rg(M*) por lo que siempre será un sistema compatible.

En los sistemas homogéneos que sean compatibles determinados solo existe una solución y es la solución trivial:

$X=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$

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