Tabla de derivadas

Derivada de la función exponencial.

Calculamos la derivada de f(x)=a^x:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a^{x+h}-a^x}h=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a^xa^h-a^x}h=\\\\\displaystyle\indent=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a^x(a^h-1)}h=a^x\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a^h-1}h

Tenemos que calcular este último límite, para ello realizamos el cambio:

\boxed{u=a^h-1}~;\\a^h=u+1~;\\\ln a^h=\ln(u+1)~;\\h\ln a=\ln(u+1)~;\\\boxed{h=\dfrac{\ln(u+1)}{\ln a}}~;\\\\h=0\rightarrow u=a^0-1=0

Luego:

\displaystyle f'(x)=a^x\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a^h-1}h=a^x\lim_{u\rightarrow0}\dfrac u{\frac{\ln(u+1)}{\ln a}}=\\\\\displaystyle\indent=a^x\lim_{u\rightarrow0}\dfrac{\ln a}{\frac1u\ln(u+1)}=a^x\lim_{u\rightarrow0}\dfrac{\ln a}{\ln(u+1)^{1/u}}=\\\\\displaystyle\indent=a^x\cdot\dfrac{\ln a}{\ln\displaystyle\lim_{u\rightarrow0}(u+1)^{1/u}}=a^x\cdot\dfrac{\ln a}{\ln e}~;\\\\\boxed{f'(x)=a^x\cdot\ln a}

De aquí se deduce también que si f(x)=e^x entonces:

\boxed{f'(x)=e^x}

♦

Páginas: 1 2 3