Archivo de la etiqueta: Vectores

Problema 2118

☕Geometría II, Matemáticas II, Rectas y planos en el espacio, Vectores IIRectas y planos, VectoresMatesLog.com

Sean los puntos A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (–1, –1, 1) y D = (1, 0, 1).

a) Compruebe que tres de estos puntos están alineados. Determine cuáles son los tres puntos y calcula la ecuación continua y la ecuación paramétrica de la recta que definen.
b) Calcule la ecuación general o cartesiana del plano que determinan los cuatro puntos.

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Problema 2006

☕Geometría II, Matemáticas II, Vectores IIProducto escalar, Producto vectorial, VectoresMatesLog.com

Sean los siguientes vectores:

$\vec u_1=(-1,1,1),~\vec u_2=(0,3,1),~\vec u_3=(1,-2,0),~\vec u_4=(-2,0,1)$

a) Compruebe si los vectores $\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo:

$\vec v_1=2\vec u_1-\vec u_2,~\vec v_2=\vec u_1+\vec u_3,~\vec v_3=\vec u_4$

b) Calcule las siguientes expresiones:

$(2\vec u_1-\vec u_2)\cdot(2\vec u_1-\vec u_2),~(\vec u_4-\vec u_1)\times(\vec u_4-\vec u_1)$

siendo ⋅ y × los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.

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Problema 1996

☕Geometría II, Matemáticas II, Vectores IIProducto escalar, Vectores, Volumen del tetraedroMatesLog.com

a) Dados los siguientes vectores: $\vec v_1=a\vec u_1-2\vec u_2+3\vec u_3,~\vec v_2=-\vec u_1+a\vec u_2+\vec u_3$ , determina el valor del parámetro $a\in\mathbb R$ para que los vectores $\vec v_1\text{ y }\vec v_2$ sean ortogonales, sabiendo que los vectores $\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\}$ son ortogonales y de módulo igual a 1.

b) Calcula el volumen del tetraedro formado por los vectores $\vec v_1,\vec v_2\text{ y }\vec v_3=\vec v_1+\vec v_2$ siendo $\vec v_1=(1,0,-2)\text{ y }\vec v_2=(3,1,0).$

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Problema 1995

☕Geometría II, Matemáticas II, Rectas y planos en el espacio, Vectores IIPosiciones relativas, Rectas y planos, VectoresMatesLog.com

a) Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas $r_1\text{ y }r_2$ , y además pasa por el punto (−1,2,1), siendo

$r_1:~\dfrac x3=\dfrac{y+2}1=\dfrac z1\qquad r_2:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+6t\\y=-2t\\z=t\end{array}\right.$

b) Dado el vector $\vec v=(2,k,2k)$ , calcula el valor $k\in\mathbb R$ para que $\vec v$ y los vectores directores de las rectas $r_1\text{ y }r_2$ sean linealmente dependientes.

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Problema 1986

☕Geometría II, Matemáticas II, Vectores IIProducto escalar, Vector unitario, VectoresMatesLog.com

Si los vectores $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son linealmente independientes,

a) Comprueba si los vectores $\{\vec r,\vec s,\vec t\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$\vec r=2\vec u+\vec w,\qquad \vec s=\vec u+\vec v-\vec w\qquad \vec t=-3\vec u-\vec v+\vec w$

b) Si además, los vectores $\{\vec u,\vec v,\vec w\}$ son ortogonales y unitarios, calcula razonadamente $\vec u\cdot\vec r+\vec v\cdot\vec s+\vec w\cdot\vec t$ , donde $\cdot$ representa el producto escalar de dos vectores.

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Problema 1956

☕Geometría II, Matemáticas II, Vectores IICondición de paralelismo, VectoresMatesLog.com

Sean los puntos A(1, −2, 3), B(0, 2, −1) y C(2, 1, 0). Se pide:

a) Comprobar que forman un triángulo T y hallar una ecuación del plano que los contiene.
b) Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos A y B con el plano z = 1.
c) Determinar el perímetro del triángulo T.

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